סטטיסטיקה נמצאת בכל מקום סביבנו - ממוצעים, חציונים, אחוזים, פערים, מדדים, עשירונים - רק תרימו את הראש, ותיתקלו בה. אך האם אנו מבינים באמת במה מדובר? האם הדקויות שמאחורי החישובים ברורות לכול? אני שואל זאת כיוון שאחד הדברים המעניינים והמוזרים הקשורים בסטטיסטיקה הוא העובדה שאנשים שמעולם לא למדו את המקצוע משוכנעים שהם מבינים בו. זו אגב סיטואציה הפוכה לתחום קרוב לסטטיסטיקה: אין כמעט איש שלא למד בשלב כזה או אחר בחייו משוואות דיפרנציאליות חלקיות או אנליזה פונקציונלית, ואין כמעט איש שחושב שהוא מבין בתחומים האלה.
ועל רקע המידע הזה, בואו ניפגש עם כמה טעויות סטטיסטיות אופייניות.
סע לאט
בעקבות הפעלת מצלמות המהירות החדשות, בתחילת השבוע הנוכחי, החלטתי להתחיל דווקא בשאלה אם מהירות גבוהה היא גורם משמעותי בתאונות דרכים. באחד העיתונים קראתי לאחרונה שנסיעה במהירות גבוהה אינה גורמת לתאונות דרכים. כמו בכל המקרים האלה הקביעה הסתמכה על נתונים סטטיסטיים שלפיהם רק 2% מהתאונות התרחשו במהירות של מאה קמ"ש ומעלה, ולכן, לפי הכותב, זו מהירות בטוחה לנסיעה. זוהי כמובן מסקנה שגויה לחלוטין. למה נקבעה דווקא מהירות של מאה קמ"ש כאבן בוחן? הרי לפי המסקנה הזו אפשר להעביר חוק חדש, בואו נקרא לו "חוק שפירא", שיחייב את כל הנהגים לנסוע במהירות של לפחות 380 קמ"ש. הרי על-פי הנתונים הסטטיסטיים היבשים, במהירות 380 קמ"ש ומעלה לא התרחשו בישראל מעולם תאונות, ולכן זוהי המהירות הכי בטוחה שיכולה להיות.
ועכשיו ברצינות. מחקר רציני על הקשר בין מהירות הנסיעה לתאונות הוא לא עניין פשוט לביצוע. כדי להגיע למסקנות צריך שלל נתונים שלא הופיעו באותו טקסט בעיתון. לדוגמה, משך הזמן שבו נוהגים במהירות הזאת. אם למשל נוסעים במהירות הזו רק עשירית אחוז מהזמן, ו-2% מהתאונות מתרחשים בה, פירוש הדבר שהמהירות הזו מסוכנת עד מאוד; או לחלופין המרחק שבו נוסעים במהירות הזו יחסית לכלל המרחק שנוסעים. ועד שמישהו ירים את הכפפה ויבדוק את הקשר בין מהירות לתאונות, סעו בזהירות.
אוחזים באחוזים
אחד המושגים הסטטיסטיים הפופולריים ביותר בשימוש "עממי" הוא "אחוזים". אז מה עדיף לכם - פריט הנמכר ב-25% הנחה או 50% הנחה על הפריט השני? או לחלופין (ושלא תדעו): כמה רלבנטי המשפט "התרופה מורידה ב-17% את הסיכוי להתקף לב אצל 30% מאוכלוסיית הגברים המעשנים"?
אחרי שחשבתם קצת על התשובות בואו נקפוץ לביקור קצר בבורסה כדי להמחיש.
פעם עשיתי מחקר בין סטודנטים שאינם לומדים מדעים וגיליתי שרובם סבורים שמניה שעלתה ב-10% וירדה ב-10% חוזרת לערכה הקודם. כמובן, אין זה כך. מניה שהייתה שווה 100 שקלים ועלתה ב-10% שווה עכשיו 110 שקלים. כאשר היא יורדת בעשרה אחוזים אלה עשרה אחוזים מ-110, שהם 11 שקלים, והמניה תהיה שווה 99 שקלים. אם במקום 10% נחשוב על 50%, הפער יהיה משמעותי יותר, ולשיא הדרמה נגיע אם נחשוב על עלייה של 100% ולאחר מכן על ירידה של 100% - שתגרום להיעלמות המניה.
אלה היו סטודנטים, והדוגמה שהובאה קלה יחסית לחישוב. אבל גם בין משקיעים מתוחכמים לא רבים יבינו שאם מניה עלתה ב-90% ואז ירדה ב 50% הם הפסידו כסף. לא מאמינים? בבקשה. המניה שלנו, בשווי 100 שקלים מזנקת ב-90%, לרמה של 190 שקלים. ואז המגמה מתהפכת והיא מתרסקת ב-50%. שווייה החדש הוא 95 שקלים בלבד.
אז בפעם הבאה שאתם יושבים מול יועץ ההשקעות שמספר על זינוק של 90% במניות שעליהן המליץ, ועל "תיקונון" שעשו בהיקף של 50%, אל תגידו לו תודה.
פגישה בבנק
נניח שהשכר הממוצע בישראל הוא עשרת אלפים שקלים - מה פירוש הדבר? מתברר שחלק גדול מן ציבור סבור שהמשמעות היא שמחצית העובדים משתכרים יותר מעשרת אלפים שקלים ומחציתם משתכרים פחות מכך. זוהי טעות. הנתון שמחלק את האוכלוסייה לשני חצאים נקרא חציון ולא ממוצע. באשר לממוצע, ייתכן שמעטים מאוד ישתכרו בסכומים שעולים עליו. בואו נניח למשל שבסניף בנק עובדים שבעה אנשים - שישה מרוויחים משכורות רגילות ומנהל אחד משתכר 7 מיליון שקלים בחודש. השכר הממוצע הוא יותר ממיליון שקלים. כנראה הצליל של המילה "ממוצע" מטעה.
הבעיה של הממוצע היא בכך שהוא רגיש מאוד לערכים קיצוניים. מספיק שהמנהל יעלה את שכרו ל-14 מיליון והממוצע יעלה כמעט פי שניים.
בעניין החציון ישנה בעיה הפוכה - אותה העלאת שכר של המנהל לא תשפיע עליו כלל, כי הוא לא רגיש לערכים קיצוניים.
רוצים דוגמה אחרת? למבחן נהיגה בינלאומי זומנו חמישה נהגים ישראלים, ואלה הציונים המצביעים על איכות נהיגתם: 10,0,10,10,10. הציון הממוצע של הנהג הישראלי לפי המבחן היה 8, ו-80% מן הנהגים קיבלו ציון גבוה ממנו. במבחן השתתפו גם חמישה נהגים איטלקים, ואלה ציוניהם: 8,8,8,9,8. ראו זה פלא: רוב הישראלים נוהגים יותר טוב מן הנהג האיטלקי הטוב ביותר, ובכל זאת הממוצע של האיטלקים גבוה יותר.
מעניין שכאשר מתארים בטלוויזיה את נתוני השכר בישראל, כמעט תמיד מודיעים על השכר הממוצע. כניסה במשדר חדשות לכל התסבוכת הסטטיסטית - סטיות תקן, צורות התפלגות וכדומה - כנראה תגרום לצופים להחליף ערוץ. בדיוק בהקשר הזה, ועל רקע מאבק יוקר המחיה שמתקיים זה זמן, כדאי לנשום עמוק ולבדוק מהו, למשל, שיעור האבטלה במדינות זולות יותר ומהם הקשרים הגלויים והסמויים בין שני הפרמטרים הללו.
ובוא נסיים באנקדוטה. לא מזמן פורסם באינטרנט על שר האוצר של מדינה כלשהי שהכריז שהוא מחכה ליום שבו כל העובדים במדינתו ישתכרו יותר מן השכר הממוצע. זהו רעיון גאוני. נותר לנו רק לאחל לשר אריכות ימים - הוא יזדקק לה.