קבוצה קטנה של מתמטיקאים ופילוסופים של המדע טוענת שרעיון האינסוף, המוטמע בתוך המתמטיקה המוכרת לנו, הוא בכלל טעות שמסבכת את המדע ויוצרת פרדוקסים שאינם ניתנים לפתרון. באפריל השנה התקבצו באוניברסיטת קולומביה פיניטיסטים (finitists), כפי שמכנים את עצמם תומכי הסוף, ואולטרה־פיניטיסטים, שמתנגדים אפילו למספרים גדולים מאוד, כדי לדון באפשרות לבטל את האינסוף. וגם כדי לתמוך אלה באלה, שכן הרעיון נשמע מוזר מאוד ואפילו מוקצה ליתר החברים בקהילת המדעים המדויקים.
● חזית המדע | כמה מהר אתם הולכים, ומה זה אומר על הבריאות שלכם? המחקרים שמגלים איך הולכים נכון
● מחקרים מצאו: האימון הקצר שיכול לשפר דרמטית את הבריאות שלכם
"מזל שאני עושה גם מתמטיקה רגילה", אומר לגלובס פרופ' דורון ציילברגר מאוניברסיטת רוטגרס בניו ג'רזי, הנציג הישראלי של הקבוצה. אם לא היה עוסק במתמטיקה רגילה, ייתכן שהרעיונות שלו בסוגיית הסוף היו מובילים לנידוי אקדמי.
הדיון בביטול האינסוף ואימוץ הסופיות אינו פילוסופי או תיאורטי בלבד. יש לו השלכות על המחקר - מקוסמולוגיה ועד מחשבים.
הפער בין גוגל לגוגול
רובנו נחשפים לרעיון האינסוף כבר כילדים. ברגע שהבנו שאנחנו יכולים לספור עד 10, ואחר כך עד 100 ו־1,000, הבנו גם שעקרונית אפשר תמיד לספור עוד אחד. אין סוף לספירה האפשרית. כשאנחנו מתבגרים, אנחנו לומדים שהיקום גדל כל הזמן, אבל במקביל הוא אולי אינסופי, וזה כבר רעיון מבלבל. אם היקום הוא אינסופי, לתוך מה הוא גדל? ומה קורה כשמחלקים מספר באפס - התוצאה היא אינסוף, או חסרת משמעות? מערכת החינוך מציעה את שתי התשובות.
הטענה המרכזית של הפיניטיסטים היא כזאת: המתמטיקה נולדה ככלי לתיאור המציאות הממשית. בעוד שרעיון האינסוף עשוי להיות אינטואיטיבי, החוקרים מסתכלים סביבם ושואלים, האם אי פעם ראינו אינסוף של משהו?
קחו לדוגמה את האטומים ואת חלקיקיהם. אפשר לכתוב את מספר האטומים בעולם: בערך 10 בחזקת 80. כשהסתכלנו אל תוך האטום גילינו שהוא מורכב מחלקיקים קטנים יותר וגם הם בתורם מורכבים מחלקיקים קטנים יותר. כמה? המון, אבל עדיין מספר שקרוב יותר ל־10 בחזקת 80 מאשר לסנטיליון, המספר הגבוה ביותר בעולמות ה־Xיליונים, 10 בחזקת 303, או בשיטות ספירה אחרות 10 בחזקת 600. כל זה אומר שלמרות שיש הרבה מהם, חלקיקים הם בסופו של דבר עניין מוגבל.
ומה לגבי מידע? להבדיל מטריליון דולר שיכולים להתקיים ולהניע אירועים בעולם, גם אם לא נצליח לספור אותם בימי חיינו, מידע אינו נמצא בעולם הממשי. אבל גם לביטים של מידע יש כמות, וזו לא עוברת את ה־10 בחזקת 90 בהערכות המקסימליות ביותר.
המידע שיוצר על ידי בני אדם מוערך על ידי מנוע ה־AI של גוגל, מלכת המידע, בכ־175 כפול עשר בחזקת 21 ביטים של מידע נכון להיום. כלומר, הרבה פחות ממספר החלקיקים ביקום. גוגל עצמה נקראת על שם המספר גוגול - שם שניתן בתחילת המאה ה־20 למספר 10 בחזקת 100. גוגל יצאה לדרך מתוך כוונה להשיג ולארגן כמויות עצומות של מידע, וללא ספק הצליחה בכך, אבל הם לא הגיעו אפילו קרוב למספר גוגול, וגם לא למספר גוגופלקס, המוגדר כ־10 בחזקת גוגול. המספר הזה קיים בשפה שלנו, אבל ככל הידוע לנו אין לו שום מקבילה בעולם.
תשאלו, אולי מדובר במגבלה של בני אדם כיום, שאינם יכולים לראות זאת בעולם הממשי, וכמו שגילינו את החלקיקים הקטנים שבתוך האטומים ואז חלקיקים עוד יותר קטנים בתוך אותם חלקיקים ודאי נגלה בעתיד שהם מורכבים מעוד ועוד חלקיקים קטנים יותר ויותר, עד אינסוף? ובכן, אולי כן ואולי לא.
למרות הכול, יש דברים בעולם שהם סופיים. לא סתם סופיים, אלא תקועים על מספר שרירותי למראה. למשל, מהירות האור. אלברט איינשטיין גילה שהיא סופית, והיום היא מוערכת בכ־299792458 מטר לשנייה. אם האור, אותו דבר חמקמק שאפילו את טיבו לא הצלחנו להגדיר, נעצר בגבול חד־משמעי, אולי זה נכון לגבי דברים נוספים בעולם הממשי.
"האינסוף, כמו אלוהים, הוא אשליה שימושית", אומר ציילברגר. "אולי הוא אפילו קיים. אולי אלוהים קיים. אבל למתמטיקה אין צורך באף אחד מהם".
כיום המתמטיקה כן משתמשת באינסוף. למעשה, הוא אחת האקסיומות שלה. "אבל קיומו של האינסוף יוצר פרדוקסים", אומר ציילברגר. סופים ברורים יכולים אולי לפתור אותם.
"משחק לוגי יפה"
ד"ר ג'סטין קלארק דואן, שהוביל את ההתכנסות באוניברסיטת קולומביה, אמר בראיון למגזין New Scientist שהוא מבין מדוע הקבוצה שלו נחשבת קיצונית ומודרת בעולם המתמטיקה. מעולם לא נכתב טקסט קאנוני או אפילו אסופת מאמרים בנושא משום שהוא נחשב רדיקלי מדי.
ובכל זאת, באירוע באוניברסיטת קולומביה השתתפו כמה מאות חוקרים שיצאו לתמוך בקיומו של הסוף.
השורשים של גישת הסופיות נעוצים במתמטיקאי והפילוסוף קורט גדל, שהראה באמצע המאה ה־20 כי שום מערכת מתמטית אינה שלמה, כלומר, לא ניתן להוכיח את כל הטענות בה. אם לדייק יותר, גדל אמר שבכל מערכת מתמטית פורמלית שהיא עקבית ומספיק חזקה כדי להכיל את האריתמטיקה הבסיסית, תמיד יהיו טענות שלא ניתן להוכיח מתוך המערכת, ויש לקבל אותן כאקסיומות חדשות בלי הוכחה.
מתמטיקאי רוסי בשם אלכסנדר אסנין־וולפין העלה בשנות ה־60 של המאה הקודמת את הטענה שהולידה את המונח "פיניטיזם". הוא אמר שאולי אם נוותר על מושג האינסוף ונעבוד רק עם ישויות סופיות, נקבל מערכת שבה כל טענה ניתנת להכרעה. המערכת שהוא הציע כללה רק חלק מהמתמטיקה המוכרת לנו, ומלכתחילה חלק מהרעיונות שלו היו לא ברורים או אבדו עם הזמן, משום שפעל מחוץ למיינסטרים. טענתו כי ביטול האינסוף יאפשר מערכת מתמטית שלמה לא שרדה, אבל הרעיון של ויתור על האינסוף החל לקנות אחיזה בקרב מתמטיקאים מסוימיים, לצד הרעיון שמתמטיקה אמורה להמשיך לתאר את העולם הפיזי, ולא רק להסתדר עם עצמה.
"המתמטיקה השלטת ב־400 השנים האחרונות מבוססת על כמה אקסיומות שלכאורה מובנות מאליהן, ואת כל היתר מוכיחים מהן, צעד אחר צעד", מסביר ציילברגר. "אבל המתמטיקה הזאת מעלה גם טענות שלא מתכנסות זו עם זו".
לדוגמה, פרדוקס אכילס והצב של זנון. סביר להניח שנתקלתם בו בעבר, אבל נחזור עליו כדי להבהיר את הנקודה: אכילס והצב יוצאים לתחרות ריצה, אבל מאחר שאכילס מהיר פי עשרה מהצב, הוא נותן לו פור נדיב של 100 מטר. לדברי זנון, אכילס לעולם לא ישיג את הצב, כי כשהוא יעבור 100 מטר, הצב כבר יעבור 10 מטרים. אכילס יעבור עוד 10 מטרים, והצב יעבור עוד מטר. אכילס יצמצם במהירות את המרחק, ועדיין הצב יקדים אותו ב־0.1 מטרים, וכך הלאה לנצח. אנחנו יודעים שבמציאות, וגם בחישובי דרך מהירות קלאסיים, תחרות כזו תסתיים בכך שאכילס יחלוף על פני הצב בתוך זמן קצר. אז מה קורה פה? ובכן, בעולם הפיזי, בשלב כלשהו אכילס יהיה קרוב מספיק לצב כדי שלהבדל הקטן לא תהיה משמעות.
פרדוקס אחר קשור לשאלת ההשוואה בין שני אינסופים. ניקח, לדוגמה, את כל המספרים השלמים על קו המספרים. כמה מהם יש? אינסוף. ואם ניקח את כל המספרים הזוגיים על הקו, כמה יש מהם? גם אינסוף. האם האינסוף הראשון גדול פי שניים מן האינסוף השני? הרי אין דבר כזה. אינסוף זה אינסוף. אבל גם, איך שהוא, לא הגיוני שזה יהיה אותו מספר. אפשר לומר שיש שני אינסופים, או אפילו אינסוף אינסופים, אבל אינטואיטיבית הרעיון הזה לא מסתדר.
"אז האינסוף הוא משחק לוגי מאוד יפה", אומר ציילברגר, "אבל יוצר גם חוסר קונסיסטנטיות, ולא צריך אותו".
הודעת שגיאה למציאות
איך יודעים שלא צריך אינסוף? ציילברגר מפנה אותנו לעולם המחשבים, שמסתדר מצוין בלעדיו. מחשבים אינם מסוגלים לחשב אינסוף, ובמקרה שהחישוב דורש זאת, הם מקרבים אותו למספרים מאוד גדולים. וזה עובד.
למחשבים יש גבול נוסף: בעיות בלתי פתירות. זהו אחד הנושאים הכי נחקרים בתיאוריה ובפילוסופיה של מדעי המחשב. יש בעיות שמחשב לא יוכל לעולם לפתור, ובעיות אחרות שהן כל כך מורכבות, שהפתרון שלהן ידרוש זמן וכוח חישוב רבים יותר מכפי שיש למחשבים הקיימים בעולם.
כמובן, המחשבים משתפרים כל הזמן. אלא שרמת השיפור שתידרש כדי לפתור את הבעיות הללו היא בלתי נתפסת. אולי אפשר לשפר את המחשבים עד אינסוף, ואולי לא.
לכן בינתיים גם המחשבים החזקים ביותר עובדים על מספרים גדולים מאוד, ולא על אינסוף, ולדעת ציילברגר הם מהווים בעצם הוכחה שמתמטיקה סופית היא אפשרית ושימושית מאוד. "גם במתמטיקה הפורמלית, אם אנחנו פשוט מחליפים את סימן האינסוף במספר מאוד גדול, Z, אין שום קונפליקט. אפשר לחשב עם זה כל דבר", הוא אומר.
המספר הזה הוא מסוים? יש מספר ספציפי שאחריו אין עוד מספרים?
"אין מספר יחיד, אבל אנחנו משערים שאין משהו בעולם הפיזי שיצריך מספר של יותר מ־10 בחזקת 90".
ואיך מבטאים את זה בצורה מתמטית? מה קורה אחרי שסופרים את המספר האחרון?
"אפשרות אחת היא שאחרי המספר הכי גדול חוזרים לאפס. אפשרות אחרת היא שאם מכניסים מספר גדול מדי, מעבר לכל מה שבני האדם יכולים לתפוס, מקבלים ממש כמו הודעת שגיאה, כמו שנותן המחשב. אולי גם ב''מחשב' הגדול שמריץ את היקום, ניסיון להציג מספר גדול מזה מוביל לשגיאות. אתה מגיע למקום שבו אומרים לך - הגעת מעבר למשמעות".
אם יש גבול לכמה שאפשר לספור, גבול ליקום, גבול לזמן, אז מה יש אחרי הגבול? איך זה מסתדר?
ציילברגר: "פעם שאלנו את עצמנו את השאלה הזאת לגבי הארץ. כמה אפשר ללכת מערבה. התברר שהארץ היא כדור. אולי הכל מחזורי, בעצם. המרחב חוזר על עצמו, וגם הזמן חוזר על עצמו".
יש לי שאלה מעצבנת. אם הזמן מעגלי, כמה פעמים הוא יחזור על עצמו?
"אפשר לומר שהוא חוזר על עצמו 'אינסוף' פעמים, אבל זה שונה מלומר שמשהו מסודר ברצף ומגיע עד איזושהי נקודה אינסופית באופק".
למה שמספרים ייעצרו?
למתמטיקאים תומכי האינסוף יש ביקורת לא מעטה על הפיניטיזם. הם טוענים שהוא סותר את כל המתמטיקה הקיימת, בעיקר המתמטיקה האינטיפיסימלית (Calculus, מוכרת גם כחדו"א, הסיוט של הסטודנטים), שמתבססת באופן משמעותי על רעיון האינסוף. מתמטיקה זו הובילה אותנו להמצאות מאוד שימושיות כמו רשתות תקשורת, מנועים חישוביים העומדים בבסיס הגרפיקה הממוחשבת, ניווט לווייני ודימות רפואי. רוקחים אפילו משתמשים בה כדי לחשב מינוני תרופות, באופן שמביא בחשבון כיצד הן נספגות בגוף שלנו. ציילברגר עונה על כך, שניתן לבצע את כל החישובים האלה גם בלי להניח אינסוף, אלא בקירוב.
טענה אחרת היא שהפיניטיסטים לא הצליחו להסביר באופן משביע רצון איזו סיבה יש למספרים לעצור במקום מסוים, ומדוע דווקא בו. בהקשר הזה, ניתן לשאול מדוע השרירותיות אינה מתקבלת על הדעת כשמדובר באינסוף עתידי אבל דווקא תפסה אחיזה כשמדובר באינסוף של העבר. הרי רוב הפיזיקאים תומכים ברעיון המפץ הגדול, שבעקבותיו התחיל היקום. בציר זמן אינסופי, איך יכול להיות רגע שלפניו לא היה דבר? עולם הפיזיקה מקבל את זה איכשהו, קצת כמו שרובנו מקבלים את העובדה שהחיים שלנו התחילו מתישהו ולא מסוגלים לקבל את זה שהם ייגמרו.
אבל השאלה הגדולה של המתמטיקה הסופית מול זו האינסופית היא האם מתמטיקה בכלל צריכה להיות רק שימושית ורלוונטית לעולם האמיתי, או שעליה לתאר כל עולם שהדמיון שלנו מסוגל להכיל, גם אם אין לו קשר למציאות. ציילברגר תומך נלהב בגישה הראשונה.
"בכנס בקולומביה פגשתי פילוסופים של המתמטיקה שעשו את כל הקריירה שלהם על התאמת הלוגיקה של המתמטיקה לעולם בלי אינסוף", הוא מספר. "יש לי הרבה סימפתיה אליהם, אבל לדעתי זה לא כל כך חשוב. מה שחשוב הוא שחישובים בלי אינסוף עובדים. אבל לא אמרתי להם את זה".
