איך מודדים את עוצמתה של מפלגה?

הודעתו של יאיר לפיד לפני שבועות מספר גררה בעקבותיה הצפה חסרת תקדים של סקרים פוליטיים שניסו לחזות את דמותה של הכנסת הבאה. הפרשנים שנדרשו לעניין - ביניהם לא מעט פוליטיקאים - שפכו הררי מילים על התוצאות, וכמובן לא שכחו לסייג עד כמה לא מדויקים הסקרים. זה כמובן נכון, אבל ישנה עובדה חשובה בהרבה, שכלל לא נדונה: לא מספר המנדטים הוא שקובע את עוצמתה של מפלגה.

נתחיל בהסבר בסיסי מאוד: נניח שנערכו בחירות, ורק שלוש מפלגות הצליחו לעבור את אחוז החסימה. מפלגת "ימין" קיבלה 59 מנדטים, מפלגת "שמאל" קיבלה 59 מנדטים ומפלגת "כסף" קיבלה שני מנדטים. במבנה כזה, לשלוש המפלגות יש בדיוק אותה עוצמה פוליטית - הרי כל שתיים מתוכן יכולות להוות את הרוב הדרוש.

בואו נסבך קלות את הסיטואציה. נניח שמפלגת "ימין", הדוגלת בכיבוש סוריה ורוסיה (זה בלאו הכי אותן האותיות) אינה מוכנה לשבת באותה קואליציה עם מפלגת "שמאל", הקוראת להסתפקות בגבולות שינקין-רוטשילד. מפלגת "כסף" מוכנה לאמץ את העקרונות של כל מפלגה על-פי הצורך. אם נטריד את מוחנו לשנייה נבין שעתה המפלגה הזעירה היא בעלת העוצמה הגדולה ביותר מבין השלוש. ואולי זה המקום לחזור למציאות לרגע ולהזכיר שהמפלגה הגדולה בישראל היא קדימה; את הערכת מידת השפעתה אני משאיר לכל קורא וקורא.

אז איך מודדים את עוצמתה של מפלגה? את אחת השיטות המציא ב-1965 ג'ון פ. בנזהאף השלישי, פרופסור למשפטים ולוחם דגול נגד נזקי העישון*.

"האינדקס של בנזהאף" מוגדר כאוסף קואליציות מפסידות שצירופה של מפלגה מסוימת יהפוך אותן לקואליציות מנצחות, ואדגים. נניח שבבחירות בישראל התקבלו התוצאות הבאות: "ליכוד ביתנו" (ל) - 55, "קדימה לעבודה" (ק) - 54, "לפיד בפייסבוק" (י) - 7, ו"חרדים ומודאגים" (ח) - 4. לשם הפשטות נניח כי כל מפלגה מוכנה לשבת עם כל מפלגה וכי להרכבת הקואליציה השלטונית אנו נדרשים, כרגיל, ל-61 מנדטים או יותר.

במבט ראשון נראה שיש שתי מפלגות גדולות ושתי מפלגות קטנות, אך קצת התעמקות תגלה לנו כי יש לפנינו שלוש מפלגות שוות בעוצמתן ומפלגת סרק, אשר אינה קובעת דבר. נחשב תחילה את הבנזהאף אינדקס של "ליכוד ביתנו". לשם כך ארכיב את כל הקואליציות שאינן מצליחות לעבור את רף 61 המנדטים בלעדיה, אך עושות זאת בהצלחה לאחר הצטרפותה: }ק, י, ק ח, י ח}. במילים אחרות: ארבע הקואליציות הרשומות בסוגריים אינן מגיעות ל-61 מנדטים בלי "ליכוד ביתנו", אך איתה מקימות קואליציה. ולכן הבנזהאף אינדקס של "ליכוד ביתנו" שווה ל-4. שימו לב כי הקואליציה ק י אינה מופיעה ברשימה, שכן "קדימה לעבודה" יחד עם "לפיד בפייסבוק" עוברות את רף ה-61 ואינן נזקקות לליכוד ביתנו. אגב, קל מאוד להשתכנע כי הבנזהאף אינדקס של "קדימה לעבודה" שווה גם הוא ל-4.

עתה נחשב את האינדקס של "לפיד בפייסבוק" (י). להלן רשימת הקואליציות המפסידות (לא מגיעות ל-61), שהצטרפותו של יאיר ומומחיו תהפוך אותן למנצחות: {ל, ק, ל ח, ק ח}. גם האינדקס של "לפיד בפייסבוק" הוא 4, ואף שגודלה של המפלגה הוא בערך שמינית מזה של ה"ליכוד ביתנו" או מ"קדימה לעבודה" - יש לשלוש המפלגות אותה העוצמה. האינדקס על-פי בנזהאף של ה"חרדים ומודאגים" שווה ל-0. הסיבה לכך היא שאין שום צירוף שמפלגה זו תעביר ממחנה המפסידים לאוהל הניצחון. מפלגה זו היא שחקן סרק במשא ומתן.

ואיפה הצדק?

המצב שתואר כאן מעורר שאלות הנוגעות לצדק. האם מתקבל על הדעת שלמפלגה עם שבעה מנדטים תהיה עוצמה דומה למפלגה בעלת 55 מנדטים? ולמה לשלול כל השפעה ממפלגה בעלת ארבעה מנדטים? נו טוב, קוראי הטור הזה כבר יודעים שאיני מאמין גדול באפשרות של צדק מוחלט. וכאן אולי המקום לציין שבעקבות הטור שעסק ב"צדק חברתי" קיבלתי הרבה תגובות, ובהן דוגמאות לאי-צדק משווע בארצנו הקטנה. הסכמתי עם רוב הדוגמאות, אך ההצבעה על אי-צדק אינה מראה מהו צדק, ואשתמש באנלוגיה מתמטית כדי להסביר. נניח שישנה משוואה מסובכת באופן שלא ייאמן וצריך למצוא את הנעלם x. קורה שאפשר לראות בקלות ש-x=7 לא פותר את המשוואה וגם לא x=0 או x=10; אבל מה זה משנה מה לא פותר? אנחנו הרי רוצים את הפתרון. קל להצביע על מקרי אי-צדק, קשה עד בלתי אפשרי להראות מהו צדק. מובן שברור (גם לי) שישנם דברים צודקים יותר וצודקים פחות. אך אני ממשיך לטעון כי אין צדק מוחלט.

שווה בדיקה

נחזור לבנזהאף. גם המוטיבציה של הפרופסור למשפטים וחובב המתמטיקה נבעה ממקרה של חוסר צדק משווע. אציג גרסה פשוטה של המקרה, אך זהה לו מבחינה מהותית. נניח שישנה עיר ברוסיה ובה מתגוררים אנשים בני ארבעה לאומים: רוסים - המהווים 26%, צ'צ'נים - המהווים 26%, יהודים ששיעורם הוא 25%, והיתר - 24% - הם ליטאים.

הוחלט שבפרלמנט של העיר יהיו מאה נציגים שיתפלגו על-פי יחסי הלאומים בעיר; כלומר, יהיו 26 רוסים, 25 יהודים, 25 צ'צ'נים ו-24 ליטאים. בנוסף, הוחלט שההחלטות שיזכו בלפחות 51 קולות יעברו. הכול נשמע הגיוני וצודק. ברם, אם קראתם את הכתוב עד כאן בעיון כבר הבנתם שהליטאים מהווים שחקן סרק - הבנזהאף אינדקס שלהם שווה ל-0. למעשה, הדוגמה הזו אינה שונה כלל מדוגמתנו הקודמת (בדקו!). כל שני לאומים מתוך הרוסים, הצ'צ'נים והיהודים יכולים להתאחד ולהעביר איזו החלטה שהם רוצים. למשל החלטה שלפיה הליטאים ישלמו 88% מס. 24 נציגים ליטאים אינם הופכים שום קואליציה מפסידה למנצחת. בעין בלתי מזוינת, כל ארבעת הלאומים נראים כשווי עוצמה, אך בדיקה קצרצרה מגלה שהמבט הראשון מטעה עד מאוד, דבר הקורה לעתים קרובות.

ואיך אפשר לסיים בלי תרגיל מעניין אך מורכב: קחו את העקרונות של הבנזהאף אינדקס, הוסיפו למשוואה את האידיאולוגיות הרלבנטיות (או במילים אחרות מי לא ישב עם מי) ונסו להבין לאילו מפלגות בכנסת ישראל יש עוצמה אפסית. התוצאה, אני מבטיח, מפתיעה מאוד.

בשם הצדק ההיסטורי חייבים לציין שליונל פנרוז המציא את השיטה הזאת עוד ב-1946, אך איש לא שם לב לכך. חובבי מתמטיקה מוזמנים לעשות גוגלינג ל-Shapley-Shubik index