קדימה, תריץ אחורה

לאור ההתעניינות הגדולה שגיליתם בחידות שהתפרסמו במדורים הקודמים, החלטתי להציג השבוע חידה נוספת - והפעם ללמד באמצעותה גם שיטה לפתרון. החידה לקוחה מן המבוא לספרי "שיחות על תורת המשחקים" (הוצאת כנרת, זמורה ביתן, דביר), ואלה עיקריה:

חבורה של שודדי ים חזרה משוד מוצלח כשבידיה מאה מטבעות זהב. את המטבעות יש לחלק בין חמשת הפיראטים הבכירים A, B,C ,D ו-E. השמות של הפיראטים אינם מקריים, הם מעידים על דרגתו של כל אחד מהם: A הוא ראש מועצת המנהלים ו- Eהוא הפיראט הזוטר בחבורת ההנהגה.

החבורה אמנם היררכית אך דמוקרטית, והחלוקה מתבצעת באופן הבא: הפיראט הבכיר A יציע חלוקה כלשהי של המטבעות ותיערך הצבעה. אם הצעתו זוכה לרוב, היא מתקבלת והחלוקה מתבצעת; אם לא - זורקים אותו לים (דמוקרטיה או לא, עדיין מדובר בפיראטים).

אם A נזרק לים מגיע תורו של B להציע חלוקה משלו. שוב נערכת הצבעה, וגם ל-B יש סיכוי למצוא את עצמו בים אם הצעתו לא תזכה לרוב קולות. למי שתהה, במקרה של שוויון קולות החלוקה אינה מתקבלת והמציע יתאמן בשחייה בסגנון חופשי בתנאי לחץ.

המשחק נמשך עד אשר חלוקה כלשהי מתקבלת על דעת הרוב. אם זה לא קורה, השודד הצעיר E ייקח את כל המטבעות לעצמו כפיראט האחרון שנותר מהחמישייה.

כרגיל, אני מציע שתנסו לחשוב איך המשחק אמור להסתיים לפני שאתם ממשיכים לקרוא.

בין המתמטיקה למציאות

חשבתם? טוב. הנה הפתרון המתמטי של הסוגיה, שכולל גם שיטה לפתירת שאלות מסוג זה. השיטה המכונה "הליכה מן הסוף להתחלה" (Backwards).

נצא מנקודת הנחה ש-A הציע ונכשל, B הציע ונכשל, וגם גורלו של C לא שפר עליו במיוחד. במקרה זה נשארים איתנו רק D ו-E, והפתרון אמור להיות ברור באופן מיידי: D חייב להציע ל-E את כל מטבעות הזהב, אחרת E יצביע נגד ההצעה (תזכרו שבמקרה של תיקו ההצעה לא עוברת) ו-D ימצא את עצמו שוחה בסגנון דולפין תוך שהוא מלווה בלהקות של כרישים.

הפיראט הנבוןD מבין זאת, ולכן יציע ל- Eאת כל המטבעות, והחלוקה תהיה: לא כלום ל- Dומאה ל-E. נסמן את המצב הזה באמצעות טבלה:

העניין הוא שהפיראט הנבון לא פחות C מבין שכך יתנהל המשחק בשלב האחרון שלו (אם המשחק יגיע לשלב זה, דבר ש- Cהיה מעדיף למנוע בכל מחיר). לכן גם C מבין שאין לו מה להציע ל-E, כי ל- Eבכל מקרה עדיף להגיע לשלב הבא. אלא ש- Cיכול לשפר את מצבו שלD לעומת מה ש- Dאמור לקבל בסיבוב האחרון, וכך לגרום לו להצביע עבורו. די בכך ש-C ייתן ל-D אפילו מטבע אחד בתמורה לתמיכתו, ואז הם יוצרים רוב של שניים נגד אחד.

במקרה של שלושה שחקנים החלוקה תיראה אפוא כך: 99 מטבעות ל-C, מטבע בודד ל-D ולא כלום ל-E.

גם B מבין כמובן את כל השיקולים שזה עתה נשקלו. הוא מבין שלשפר את ההצעה ל-C הוא לא יכול, אך הוא יכול להציע ל- Dול- Eהצעות שהם לא יוכלו לסרב להן. לכן, החלוקה ש- Bיציע היא כזאת: 97 מטבעות הוא ייקח לעצמו, אף לא מטבע אחד ל-C, שני מטבעות ל-D ומטבע בודד ל-E.

עכשיו אנו נמצאים בנקודה שבה נוכל להבין איך פיראט בכיר כמו A, שהוא מנוסה כל-כך בענייני חלוקת שלל, אמור לפעול.A יציע את החלוקה הבאה: 97 מטבעות הוא ייקח לעצמו; הוא לא יציע ולו מטבע שחוק ל-B (כי B ממילא יצביע נגד A, על מנת להגדיל את סיכוייו, אז אין טעם לנסות "לקנות" אותו); מטבע אחד ילך ל- C(שזה טוב יותר מאשר אפס מטבעות שהוא צפוי לקבל אילו ההצעה לא תעבור, ו- Bיחלק את השלל); אף מטבע ל- Dושני מטבעות ל-E (D בכל מקרה יצביע נגד, כי רק במקרה ש-A מפסיד יש לו סיכוי כלשהו להרוויח משהו).

לכן, הצעה זו תעבור ברוב של שלושה נגד שניים, והפיראטים ימשיכו לשדוד עד אשר יגיע פיטר פן ויטפל בהם.

זהו, אפוא, הפתרון המתמטי. אבל הפתרון הזה אינו מביא בחשבון רגשות חשובים כמו קנאה, עלבון או שמחה לאיד. באף אחד מהניסויים שאני ערכתי לא הגיעו הנבדקים לפתרון שהמתמטיקה ממליצה עליו. מה זה אומר? האם זה באמת מה שהיה קורה לו היינו עורכים ניסוי דומה על חמישה סטודנטים למתמטיקה? על חמישה סטודנטים לפסיכולוגיה? ומה היו עושים חמישה סטודנטים למשפטים? האם הרגשות משפיעים על החשבון המתמטי? ואיך קורה שבשיטה דמוקרטית מתקבלת תוצאה כה מעוותת? טוב, זה כבר עניין לפילוסופיה.

הכותב הוא ד"ר למתמטיקה ולהוראת המדעים ומומחה לתורת המשחקים