כמה קשה להשתכנע

הדיווחים שהיו השבוע בעיתונות על ההמלצות המתגבשות להורדת מיסי היבוא על מוצרי מזון מיובאים, עוררו בי מחשבות על לוגיקה, אינטואיציה ומה שביניהן. מחירי המזון, אומרים המומחים ומראות ההשוואות, גבוהים בישראל יחסית למדינות מסוימות בעולם.

אינטואיטיבית, כל ישראלי שמבקר בסופרמרקט יסכים עמם וישמח בהוזלה המתגבשת. האם ישנה את דעתו כשיוכח לו מעבר לכל ספק שלשינוי הזה יש גם צדדים פחות מלבבים - עלייה מסוימת באבטלה, למשל? אני בכלל לא בטוח. על העובדה שיש לנו קושי לקבל נימוקים לוגיים והסתברותיים אשר אינם עולים בקנה אחד עם הגישה האינטואיטיבית שלנו, כבר מזמן אין ויכוח.

קשה לכם לקבל את זה? הנה ניסוי מחשבתי, שהויכוחים עליו יכולים למלא בקלות את הזמן שבו תעמדו בפקקים, אשר לא יפסחו עלינו גם בחג הפסח הזה. הניסוי נקרא "בעיית שלושת האסירים" (לא להתבלבל עם "דילמת האסיר").

בואו נדמיין תא מעצר ובו שלושה אסירים - A, B ו-C. אחד מהם הולך להיפרד מחייו מחר בבוקר ושניים עומדים להפוך לבני-חורין. ההחלטה מי ייתלה ומי ישוחרר הייתה שרירותית לחלוטין: שלושה פתקים הוכנסו לכובע עם השמות A, B ו-C. פתק אחד נשלף והאסיר ששמו היה על הפתק הוא זה שייתלה. כמו כן הוחלט לא לספר לאסירים מי עלה בגורל.

הסוהר שאמור לשמור על שלושתם במרוצת הלילה, נכח בהגרלה ויודע מי יוצא להורג בבוקר. לסוהר מותר לדבר עם האסירים בתנאי שלא יגלה שום מידע רלבנטי להוצאה להורג. כך, למשל, אם אחד האסירים שואל את הסוהר במה עוסקת טופולוגיה דיפרנציאלית, מובן שהסוהר יכול לענות. גם אם אחד האסירים ישאל "תגיד, נכון שמישהו מאיתנו ייתלה מחר בבוקר?" - שוב יכול הסוהר לענות על כך, כי הוא לא מגלה שום מידע נוסף.

מגיע הלילה. האסירים B ו-C בניגוד לכל הציפיות שוקעים בשינה עמוקה. עיניו של האסיר A, לעומת זאת, לא מתקשרות בשינה. A אומר לסוהר: "אני יודע שמבין האסירים B ו-C, לפחות אחד יהיה חופשי למחרת. אני צודק?". ואכן, A צודק - לא ייתכן ששניהם יוצאו להורג. לפחות אחד מהם ייצא לחופשי. לכן הסוהר לא מוסר ל-A מידע חדש כשהוא עונה בחיוב. עתה A מבקש לדעת מה שם האסיר שייצא לחופשי למחרת. A אומר: "אם רק אחד מבין B ו-C ישוחרר, אז תגיד לי מי זה. אם שניהם חופשיים (שזה אומר שמצבו של A הוא לא משהו), אני יודע שאתה לא יכול לענות לי, כי אז יתברר לי שזהו הלילה האחרון שלי. לכן תן את שמו של אחד מהם, באופן אקראי".

השאלה הנשאלת כאן היא האם הסוהר יכול לענות ל-A? האם אינו מסגיר כך מידע? בואו ונבדוק.

הסוהר, שהוא גם מומחה להסתברות וללוגיקה, מבין ש- Aיודע שמשני האסירים אחד ייצא לחופשי, ומבחינתו של A אין הבדל אם יהיה זה B או C. לכן הסוהר מרשה לעצמו לומר ל-A ש-B ישוחרר. ברור שהיה אסור לסוהר להגיד זאת, אילולא היה בטוח ש-B ו-C ישנים עמוקות.

ובכן, מה סיכוייו של A להיתלות לפני השיחה עם הסוהר ואחריה? לפני השיחה הכול פשוט - היו שלושה פתקים בכובע, הסיכוי שהפתק של A יעלה בהגרלה הוא שליש - אי אפשר להתווכח על כך. ואילו אחרי השיחה? אנשים רבים טוענים שהסיכוי של A הוא כרגע חצי. כיוון שאם הסוהר אומר ש-B חופשי, הרי נותרו רק A ו-C, ולכן הסיכויים הם חצי-חצי. אלא שהתשובה הנכונה היא שהסיכוי של אסיר A נותר שליש. אסביר.

A שואל שאלה שהתשובה עליה אינה מחדשת לו דבר. גם לפני ששאל, הוא ידע שאחד מ-B ומ-C יהיה חופשי. האם ל-A עדיף לשמוע את שמו של B, או שעדיף לו לשמוע את שמו של C? התשובה היא שמבחינתו זה היינו הך. אם כך, איך יכול מידע לא רלבנטי לשנות את סיכוייו? הסיכוי היה שליש, ונותר שליש!

ומה בנוגע ל-C? הסיכוי של C עתה הוא שני שלישים. הסיכוי של C גדל, כי A שאל שאלה שהתשובה עליה לא משנה דבר בנוגע אליו (לכן הסכים הסוהר לענות לו), אבל ל-C ול-B היא משנה גם משנה! A ערך תחרות ביניהם, ו-C הפסיד - השליש של B נדד אליו.

לא השתכנעתם? הנה המקרה המוכר כ-MONTY HALL PROBLEM (ואני ממליץ גם על הערך בוויקיפדיה). מונטי הול היה מנחה שעשועון ידוע בארצות הברית - "עשינו עסק" שמו, אשר קשור קשר אמיץ לסיפור האסירים.

נדמיין לעצמנו שלוש דלתות, שמאחורי אחת מהן יש מזוודה ובה מיליון ש"ח, ומאחורי שתי הדלתות האחרות אין שום דבר. מבקשים מהמתמודד בתוכנית להמר על דלת כלשהי. הוא מהמר על אחת הדלתות. ברור שהסיכוי שהפרס נמצא מאחורי הדלת שבחר הוא שליש. כדי להעלות את המתח, מונטי הול, שיודע מאחורי איזו דלת נמצא הפרס, פותח דלת שעליה לא הימר השחקן, ומראה שאין מאחוריה דבר. בנקודה הזאת כמעט כולם חושבים שהסיכוי של המתמודד עלה לחצי - הרי נותרו רק שתי דלתות! אבל לא. הסיכויים של המתמודד היו שליש ונשארו שליש, וזאת כי לא קרה דבר שהוסיף לו אינפורמציה - הרי המתמודד ידע שלפחות אחת מבין הדלתות שהוא לא הימר עליה ריקה.

ומה אם מציעים בנקודה הזאת למתמודד להחליף את ההימור? כאן המצב מורכב יותר. העצה המתמטית היא - תחליף! בשני שלישים מהפעמים יזכו בפרס המתמודדים אשר עברו לדלת האחרת, ורק בשליש מהמקרים יזכו אלה שנשארו עם בחירתם.

מרילין ווס סאוואנט (Marilyn vos Savant), בעלת טור ב-PARADE, אשר התפרסמה לאחר שדורגה בספר השיאים של גינס ב-1986 כ"אישה בעלת מנת המשכל הגבוהה בעולם", ניסתה לשכנע את קוראיה בכך שהסיכוי נשאר שליש גם לאחר שפותחים דלת אחת, וששווה להחליף את ההימור, אך קיבלה המון מכתבים עם התנגדויות שונות ומשונות. ליתר דיוק, היא קיבלה קרוב ל-10,000 מכתבים (מתוכם כ-1000 היו מבעלי תואר Ph.D), שטענו בתוקף שהיא טועה. לא עזרו הוכחות מתמטיות, סימולציות ונימוקים לוגיים - אנשים פשוט סירבו להאמין ששווה להחליף את ההימור. "אם יש שתי דלתות אפשריות, לא ייתכן שהסיכויים אינם חצי-חצי" - התעקשו קוראיה. בהמשך, פרסם ניו יורק טיימס מאמר ראשי, אשר תמך בעמדתה (שהיא, כמובן, גם עמדתי), אך עדיין אנשים רבים סבורים שבכל פעם שיש שתי אפשרויות, הסיכויים הם חצי-חצי.

הנה עוד ניסיון שלי להסביר בפשטות: אם הימרת על הדלת שמאחוריה תהיה המזוודה - דבר שהסתברותו שליש - לא שווה כמובן להחליף את ההימור. אם הימרת על דלת ריקה, דבר שהסתברותו שני שלישים, כמובן שכדאי להחליף את ההימור. תגידו ובצדק שתוך כדי המשחק אין דרך לדעת אם הימרת נכון או לא, וזאת בדיוק הנקודה: הכול יכול לקרות במשחק - בכל זאת מדובר בסוג של הימור - אך חישוב ההסתברויות מראה שהסיכוי להרוויח גדל פי שניים אם מחליפים את ההימור.

ואם כל זה לא עזר, ועדיין לא השתכנעתם, אולי זה יעזור: כאשר אני זורק לסל ממחצית המגרש ישנן שתי אפשרויות בלבד - או שאקלע או שלא. ועדיין לא הייתי מהמר שהסיכוי הוא חצי-חצי. שתי האפשרויות האלה אינן שוות סיכוי. או דוגמה אחרת: חולה נכנס לניתוח להוצאת שקדים - או שישרוד או שימות - אנו רוצים לקוות שהסיכויים אינם חצי-חצי. כך גם עם הדלתות, רק באופן גלוי פחות. וחזרה למשחק: ומה אם המנחה מציע להחליף את ההימור רק לעתים? אז מתעוררת השאלה - למה מציעים לי להחליף? כאן אין לי עצה, כי שיקולים פסיכולוגיים מחליפים את המתמטיקה.

מסכת הצמצום

חידה קטנה: פעם הפתעתי את הסטודנטים שלי כאשר צמצמתי בשבר 16/64 את הספרה 6 במונה ובמכנה ואף קיבלתי תשובה נכונה - 1/4. האם יש לכם עוד דוגמאות לשברים שבהם ניתן לצמצם ספרות במונה ובמכנה (דבר אסור בתכלית האיסור) ועדיין לקבל תשובות נכונות?

הכותב הוא ד"ר למתמטיקה ולהוראת המדעים ומומחה לתורת המשחקים