משלוש יוצא אחד

שני מחשבי-על שישחקו שחמט יסיימו תמיד באותה תוצאה. לא מבינים? נסו לשחק איקס-עיגול למתקדמים

הישגו הפנומנלי של בוריס גלפנד הפך את משחק השח לסוג של גיבור חדשותי לרגע. עם כל השמחה על כך, אינני יכול לחמוק מההשוואה לעולם הכדורגל; תארו לעצמכם מה היה קורה אם הנבחרת שלנו הייתה מעפילה לגמר המונדיאל ומתמודדת מול ברזיל על תואר אלופת העולם. לפני שאתם מתחילים לפנטז, תירגעו - זה לא יקרה בקדנציה שלנו.

אותי אישית מרשים ההישג של רב האמן גלפנד הרבה יותר מאשר הישג מקביל של כדורגלנים מפני ששחמט הוא ספורט של מחשבה טהורה. מובן שאין לשחמט רייטינג גבוה, שכן אפילו אנשים שמכירים את חוקי המשחק מתקשים להעריך את יופי המחשבה של אננד, גלפנד וחבריהם, ורק מתי מעט יכולים לשאוב את העונג הגדול מצפייה במשחק ברמתו הגבוהה ביותר. ידידים שלי, שרמתם בשחמט כנראה גבוהה משלי, ניסו להסביר לי הברקות ו/או טעויות של המתמודדים, אך למרות עברי כחבר נבחרת בית הספר בליטא הרחוקה והקרה, זה היה גדול עליי בכמה מספרים.

כך או אחרת, אחד הדברים שריתקו אותי היה האחוז הגבוה של תוצאות תיקו בהתמודדות - 10 משחקים מתוך 12 - וזה מקשר אותנו מיידית לנושא העיקרי של הטור הזה.

האותיות הקטנות

יש הסבורים שתחילתה של תורת המשחקים בשנת 1913, במשפט שניסח המתמטיקאי הגרמני ארנסט צרמלו על אודות משחק המלכים. המשפט אומר כך:

במשחק שחמט תיתכן אחת, ורק אחת, משלוש התוצאות הבאות:

ללבן יש אסטרטגיה שאם הוא פועל לפיה, הוא תמיד מנצח.

לשחור יש אסטרטגיה שאם הוא פועל לפיה, הוא תמיד מנצח.

לשני השחקנים יש פנקס ובו אסטרטגיות שאם הם פועלים על פיהן, המשחק תמיד יסתיים בתיקו.

מי שקורא משפט זה לראשונה ולא שם לב לאותיות הקטנות עלול להגיד לעצמו (בציניות כמובן) משהו כמו: "וואו... איזה חידוש...". אבל התעמקות מביאה למסקנה כי צרמלו בעצם אומר שהתוצאה - תחת ידיעה מושלמת - אינה מקרית. ובמילים אחרות שאם ישחקו מחשבים יודעי כול תהיה למשחק רק תוצאה אחת שתחזור על עצמה שוב ושוב ושוב. אין יודעים נכון להיום איזו משלוש האפשרויות זו תהיה; מקריות של תוצאה בשחמט היא בעצם פונקציה של טעויות אנוש.

בואו נדלג לרגע למשחק ה"איקס עיגול" המוכר והטוב. אם שני השחקנים אינם סובלים מאי שפיות זמנית (דבר שלפעמים קורה) ונמצאים בקשרי ידידות סבירים עם מוחם (דבר שלרוב קורה) המשחק בהכרח יסתיים בתיקו. גם שחקנים שמפסידים בהתחלה יבינו אחרי סיבוב או שניים איך לא להפסיד יותר. כלומר, משחק איקס עיגול הוא משחק סגור וחסר עניין לחלוטין, כי אנחנו יודעים שתמיד יהיה תיקו ועוד תיקו ועוד תיקו. צרמלו בעצם מוכיח שמשחק השחמט אינו שונה מהמשחק איקס עיגול. לא כי הוא חייב להסתיים בתיקו אלא כי גם בו יש רק תוצאה אחת אפשרית תחת ידיעה מושלמת. אין אופציה אחרת.

ישנו משחק פשוט בהרבה משחמט, אך מורכב לאין שיעור מאיקס עיגול, שמדגים את הדברים. שם המשחק הוא chomp ומשחקים אותו במלבן שמחולק למספר משבצות כלשהו, שהשמאלית התחתונה שלהן מסומנת במילה "רעל". השחקן הפותח בוחר במשבצת כלשהי ורושם בה X.

משנרשמה הבחירה, נמחקות כל המשבצות הנמצאות ימינה ולמעלה מן המשבצת שנבחרה (טבלה 1).

עתה תורו של השחקן השני. הוא צריך לרשום עיגול באחת המשבצות הנותרות. אחרי צעד זה יימחקו גם כן כל המשבצות הנמצאות ימינה ולמעלה מן המשבצת שנבחרה (טבלה 2). המשחק נמשך באופן זה, והמפסיד הוא השחקן שנאלץ לבחור במשבצת השמאלית התחתונה - שם במקום השוקולד ישנו רעל.

אתם מוזמנים לנסות משחק זה, למשל, במלבן שגודלו 7 על 4, כלומר מלבן בעל 4 שורות ו-7 עמודות, או להפך. אנשים שיצאו לא מזמן לפנסיה ועתותיהם בידם, מוזמנים לשחק במלבנים בכל גודל שיבחרו. רק קבלו אזהרה: המשחק הזה עלול להיות ממכר.

ישנה הוכחה מתמטית לכך שלשחקן המשחק ראשון במשחק קיימת אסטרטגיה שתוביל אותו תמיד לניצחון, אך ההוכחה אינה קונסטרוקטיבית. כלומר עבור מלבנים מספיק גדולים אין הוראות ברורות מה על השחקן המתחיל לעשות על מנת לנצח. אם, לעומת זאת, המשחק משוחק בריבוע, דהיינו שמספר המשבצות באורך וברוחב שווה, לרשות השחקן המתחיל עומדת אסטרטגיה המביאה ניצחון וודאי.

מהי? - חשבו שלוש דקות לפני שתציצו בתשובה.

חשבתם? עליו לבחור במשבצת הנמצאת מעל המשבצת עם הרעל באלכסון. (טבלה 3)

מכאן, כל מה שנותר הוא לשחק באופן סימטרי ליריב. נסו.

צרמלו הוכיח שהשחמט הוא בדיוק כמו איקס עיגול, כמו chomp, וכמו משחקים רבים אחרים. כלומר העובדה שעדיין יש עניין בשחמט נובעת ממספר האפשרויות העצום הקיים בו.

ידיד שלי, המבין בשחמט יותר ממני, התנבא שבעוד שנים לא רבות המחשבים יפתרו את משחק השחמט. בדומה לאיקס עיגול שצריך להסתיים בתיקו ול-chomps שבו המתחיל אמור לנצח אם לא יעשה שגיאות, כך גם לשח תהיה רק תוצאה אפשרית אחת. ידידי אף התנבא שבעתיד מחשב על יסיים בתיקו את כל משחקיו מול מחשב על אחר.

אולי אננד וגלפנד כבר נושקים לשלב המתקדם הזה.

הכותב הוא ד"ר למתמטיקה ולהוראת המדעים ומומחה לתורת המשחקים

צרו איתנו קשר *5988